## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

画像には、複素関数論に関する4つの演習問題があります。具体的には、以下の内容です。

* **演習1:** ベキ級数の収束半径を求める問題（4問）

* **演習2:** 関数をマクローリン展開（原点中心のテイラー展開）する問題（8問）。5次以上の項まで記述し、収束範囲を明記する必要があります。

* **演習3:** 関数を指定された点を中心にテイラー展開する問題（8問）。5次以上の項まで記述し、収束範囲を明記する必要があります。

* **演習4:** 関数を指定された点を中心にローラン展開する問題（3問）。5次以上の項まで記述し、収束範囲を明記する必要があります。

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2. 解き方の手順

ここでは、画像に示された問題に対する一般的な解き方の方針を説明します。個々の問題に対する詳細な解答は、それぞれの関数の性質や展開の中心によって異なります。

**演習1 (収束半径)**

ベキ級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-c)^n$ の収束半径 $R$ を求めるには、一般的に以下のいずれかの方法を用います。

* **比判定法:** $R = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}|$ （極限が存在する場合）

* **冪根判定法:** $R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}}$

これらの公式を用いて、各問題の $a_n$ を特定し、極限を計算します。

**演習2 & 演習3 (テイラー展開)**

関数 $f(z)$ を点 $c$ を中心にテイラー展開するには、以下の公式を用います。

$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (z-c)^n$

ここで、$f^{(n)}(c)$ は $f(z)$ の $n$ 階微分を $z=c$ で評価したものです。

1. **微分を計算:** $f(z)$ の高階微分を計算します。

2. **評価:** $f^{(n)}(c)$ を計算します。

3. **代入:** 求めた微分係数をテイラー展開の公式に代入します。

4. **収束範囲:** テイラー展開の収束範囲を決定します。多くの場合、最も近い特異点までの距離が収束半径になります。

特に、マクローリン展開（演習2）は $c = 0$ の場合のテイラー展開です。既知のマクローリン展開（例えば、$\sin z$, $\cos z$, $e^z$, $\ln(1+z)$ など）を利用できる場合は、それらを組み合わせて展開を求めることも可能です。

**演習4 (ローラン展開)**

関数 $f(z)$ を点 $c$ を中心にローラン展開するには、以下の公式を用います。

$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-c)^n$

ここで、$a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(w)}{(w-c)^{n+1}} dw$ であり、$C$ は $c$ を囲む閉曲線です。

1. **特異点を特定:** $f(z)$ の特異点（関数が定義されない点）を特定します。

2. **部分分数分解 (可能な場合):** 関数を扱いやすい部分分数に分解します。

3. **テイラー展開/幾何級数展開:** 各部分分数に対して、適切なテイラー展開または幾何級数展開を行います。

4. **項をまとめる:** 全ての項をまとめ、ローラン展開の形にします。

5. **収束範囲:** ローラン展開の収束範囲を決定します。これは、特異点を避けた領域になります。

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3. 最終的な答え

上記は問題の解き方の手順です。個々の問題に対する具体的な答えは、それぞれの関数を実際に展開し、収束半径または収束範囲を計算する必要があります。このためには、微積分の知識、複素数の知識、そして級数展開の知識が必要です。