2つの関数 $y = x^2 + 2x - 5$ と $y = 3x^2 - 8x + 3$ で囲まれた領域の面積を求めます。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = x^2 + 2x - 5$ と $y = 3x^2 - 8x + 3$ で囲まれた領域の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの関数の交点を求めます。

$x^2 + 2x - 5 = 3x^2 - 8x + 3$

$0 = 2x^2 - 10x + 8$

$0 = x^2 - 5x + 4$

$0 = (x - 1)(x - 4)$

交点のx座標は $x = 1$ と $x = 4$ です。

次に、$1 \le x \le 4$ の範囲でどちらの関数が大きいかを調べます。例えば、$x = 2$ を代入してみます。

$y_1 = (2)^2 + 2(2) - 5 = 4 + 4 - 5 = 3$

$y_2 = 3(2)^2 - 8(2) + 3 = 12 - 16 + 3 = -1$

よって、$y_1 > y_2$ です。したがって、$1 \le x \le 4$ の範囲では $y = x^2 + 2x - 5$ の方が $y = 3x^2 - 8x + 3$ よりも大きいです。

面積は、2つの関数の差を積分することで求められます。

$\int_1^4 [(x^2 + 2x - 5) - (3x^2 - 8x + 3)] dx = \int_1^4 (-2x^2 + 10x - 8) dx$

積分を実行します。

$[- \frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 8x]_1^4 = [- \frac{2}{3}(4)^3 + 5(4)^2 - 8(4)] - [- \frac{2}{3}(1)^3 + 5(1)^2 - 8(1)]$

$= [- \frac{2}{3}(64) + 80 - 32] - [- \frac{2}{3} + 5 - 8]$

$= [- \frac{128}{3} + 48] - [- \frac{2}{3} - 3]$

$= - \frac{128}{3} + 48 + \frac{2}{3} + 3$

$= - \frac{126}{3} + 51$

$= -42 + 51 = 9$

3. 最終的な答え

9