関数 $f(x)$ と $g(x)$ が与えられており、$f(x) = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2} \int_1^x g(t) dt$ ... (1) および $g(x) = \int_1^x f(t) dt$ ... (2) である。このとき、$g(x)$ の極小値を求める問題。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x)$ が与えられており、$f(x) = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2} \int_1^x g(t) dt$ ... (1) および $g(x) = \int_1^x f(t) dt$ ... (2) である。このとき、$g(x)$ の極小値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $a = \int_1^x g(t) dt$ とおくと、(1) より $f(x) = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2} a$ である。

(2) (2) より $g(x) = \int_1^x f(t) dt$ なので、$g'(x) = f(x)$ である。したがって、アの解答は0の$f(x)$。

(3) $g(1) = \int_1^1 f(t) dt = 0$ であるから、イ = 0。

(4) $g'(x) = f(x) = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2} \int_1^x g(t) dt$ である。

(2)をxで微分すると、$g''(x)=f'(x)$。$f(x) = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2}a$より、$f'(x) = 4x + 4$。したがって、$g''(x) = 4x + 4$。

(5) $g'(x) = f(x)$ より、$g(x) = \int f(x) dx = \int (2x^2 + 4x - \frac{3}{2}a) dx = \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - \frac{3}{2} a x + C$ 。

$g(1) = 0$ より、$\frac{2}{3} + 2 - \frac{3}{2}a + C = 0$。 $C = \frac{3}{2}a - \frac{8}{3}$

$g(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - \frac{3}{2}ax + \frac{3}{2} a - \frac{8}{3}$ 。

ここで、$a = \int_1^x g(t) dt$ なので、$f(x) = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2} a$ ... (1)より、$f(1) = 2 + 4 - \frac{3}{2}a = 6 - \frac{3}{2} a$。

また、$g'(x) = f(x)$なので、$g'(1) = f(1)$。

$g'(x) = f(x) = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2} \int_1^x g(t) dt$より、 $g'(1) = 2 + 4 - \frac{3}{2} \int_1^1 g(t) dt = 6 - 0 = 6$。

(2)より、$g(x) = \int_1^x f(t) dt$ であるから、$g'(x) = f(x)$。 $f(x) = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2}a$より、$g'(x) = 2x^2 + 4x - \frac{3}{2} a$ 。

$a = \int_1^x g(t) dt$ のxに1を代入すると、$a = \int_1^1 g(t) dt = 0$

したがって、$f(x) = 2x^2 + 4x$ 、$g(x) = \int_1^x f(t) dt = \int_1^x (2t^2 + 4t) dt = [\frac{2}{3}t^3 + 2t^2]_1^x = (\frac{2}{3}x^3 + 2x^2) - (\frac{2}{3} + 2) = \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - \frac{8}{3}$。

ウ=2, エ=3, オ=2, カ=0, キ=-8, ク=3。

$g'(x) = f(x) = 2x^2 + 4x$。 $g(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - \frac{8}{3}$。

$g(x)$を$g'(x)$で割ると、

$\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - \frac{8}{3} = (2x^2 + 4x)(\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}) + 余り$

$(\frac{1}{3}x + \frac{1}{3})(2x^2 + 4x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{4}{3}x^2 + \frac{2}{3}x^2 + \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + \frac{4}{3}x$

$\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - \frac{8}{3} - (\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + \frac{4}{3}x) = -\frac{4}{3}x - \frac{8}{3}$

$g(x)$を$g'(x)$で割った余りは$-\frac{4}{3}x - \frac{8}{3}$。

ケコサ=-4, シ=3, ス=-8, セ=3。

$g'(x) = 2x^2 + 4x = 2x(x+2) = 0$。 $x=0,-2$。

$g''(x) = 4x + 4$。 $g''(0) = 4 > 0$、 $g''(-2) = -8 + 4 = -4 < 0$。

$x=0$で極小値をとる。 $g(0) = -\frac{8}{3}$。

ソタ=-8, チ=3, ツテなし、トなし。

3. 最終的な答え

g'(x) = f(x)

g(1) = 0

g(x) = (2/3)x^3 + 2x^2 - 8/3

g(x)をg'(x)で割った余りは (-4/3)x - 8/3

g(x)の極小値は -8/3

ア: f(x)

イ: 0

ウ: 2

エ: 3

オ: 2

カ: 0

キ: -8

ク: 3

ケコサ: -4

シ: 3

ス: -8

セ: 3

ソタ: -8

チ: 3

ツテ: (なし)

ト: (なし)