関数 $f(x,y)$ が与えられています。 $f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2+y^2} + xy^3 & (x,y) \neq (0,0) \\ c & (x,y) = (0,0) \end{cases}$ (1) $c=0$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。 (2) $c=1$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。 (3) $c=0$ のとき、$f_{xy}(0,0)$ と $f_{yx}(0,0)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が与えられています。

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2+y^2} + xy^3 & (x,y) \neq (0,0) \\ c & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

(1) $c=0$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。

(2) $c=1$ のとき、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ を求めます。

(3) $c=0$ のとき、$f_{xy}(0,0)$ と $f_{yx}(0,0)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $c=0$ のとき:

偏導関数の定義から、

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}$

$f(h,0) = \frac{2h^3 \cdot 0 - 3h \cdot 0^3}{h^2+0^2} + h \cdot 0^3 = 0$

$f(0,k) = \frac{2 \cdot 0^3 \cdot k - 3 \cdot 0 \cdot k^3}{0^2+k^2} + 0 \cdot k^3 = 0$

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

(2) $c=1$ のとき:

$f(0,0) = 1$

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}$

$f(h,0) = 0$

$f(0,k) = 0$

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} -\frac{1}{h}$

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 1}{k} = \lim_{k \to 0} -\frac{1}{k}$

これらの極限は存在しないため、$f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ は存在しません。

(3) $c=0$ のとき:

(1)より、$f_x(0,0) = 0$ かつ $f_y(0,0) = 0$.

まず、$x \neq 0$ の時、$f_x(x,0)$ を求めます。

$f_x(x,0) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h,0)-f(x,0)}{h}$ではなく、偏微分します。

$f(x,y) = \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2+y^2} + xy^3$

$f_x(x,y) = \frac{(6x^2y-3y^3)(x^2+y^2) - (2x^3y-3xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2} + y^3$

$f_y(x,y) = \frac{(2x^3-9xy^2)(x^2+y^2)-(2x^3y-3xy^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2} + 3xy^2$

$f_x(0,y) = y^3$ なので、

$f_{xy}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0,k) - f_x(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k^3 - 0}{k} = \lim_{k \to 0} k^2 = 0$

$f_y(x,0) = x^3$ なので、

$f_{yx}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h,0) - f_y(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $f_x(0,0) = 0$, $f_y(0,0) = 0$

(2) $f_x(0,0)$ と $f_y(0,0)$ は存在しない

(3) $f_{xy}(0,0) = 0$, $f_{yx}(0,0) = 0$