$t = ax+b$ とおいて、与えられた4つの積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx$ (2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x-4}} dx$ (3) $\int \frac{1}{e^{-x-3}} dx$ (4) $\int \sin(2x + \frac{\pi}{6}) dx$

1. 問題の内容

$t = ax+b$ とおいて、与えられた4つの積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x-4}} dx$

(3) $\int \frac{1}{e^{-x-3}} dx$

(4) $\int \sin(2x + \frac{\pi}{6}) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx$

$t = 5x+2$ とおくと、$dt = 5dx$ より $dx = \frac{1}{5}dt$ となります。したがって、

$$\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx = \int \frac{1}{t^3} \cdot \frac{1}{5}dt = \frac{1}{5} \int t^{-3} dt$$

$$= \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{10t^2} + C = -\frac{1}{10(5x+2)^2} + C$$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x-4}} dx$

$t = -x-4$ とおくと、$dt = -dx$ より $dx = -dt$ となります。したがって、

$$\int \frac{1}{\sqrt{-x-4}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot (-1)dt = -\int t^{-\frac{1}{2}} dt$$

$$= - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -2\sqrt{t} + C = -2\sqrt{-x-4} + C$$

(3) $\int \frac{1}{e^{-x-3}} dx$

$$\int \frac{1}{e^{-x-3}} dx = \int e^{x+3} dx = \int e^x e^3 dx = e^3 \int e^x dx = e^3 e^x + C = e^{x+3} + C$$

(4) $\int \sin(2x + \frac{\pi}{6}) dx$

$t = 2x + \frac{\pi}{6}$ とおくと、$dt = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}dt$ となります。したがって、

$$\int \sin(2x + \frac{\pi}{6}) dx = \int \sin(t) \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \sin(t) dt$$

$$= \frac{1}{2} (-\cos(t)) + C = -\frac{1}{2} \cos(t) + C = -\frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{6}) + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{(5x+2)^3} dx = -\frac{1}{10(5x+2)^2} + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x-4}} dx = -2\sqrt{-x-4} + C$

(3) $\int \frac{1}{e^{-x-3}} dx = e^{x+3} + C$

(4) $\int \sin(2x + \frac{\pi}{6}) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x + \frac{\pi}{6}) + C$