与えられた極限の値を求める問題です。問題文は以下の通りです。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^2}$

1. 問題の内容

与えられた極限の値を求める問題です。問題文は以下の通りです。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^2}$

2. 解き方の手順

この極限は、リーマン和の定義から定積分に変換して計算することができます。

まず、$f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ とおきます。

すると、与えられた極限は、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n})$

と表すことができます。これは、区間$[0, 1]$における関数$f(x)$の定積分とみなせるため、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^2} = \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx$

となります。

次に、この定積分を計算します。

$\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx = \int_0^1 (1+x)^{-2} dx$

$u = 1+x$ と置換すると、$du = dx$となり、$x: 0 \to 1$ のとき $u: 1 \to 2$ となります。したがって、

$\int_0^1 (1+x)^{-2} dx = \int_1^2 u^{-2} du = [-u^{-1}]_1^2 = [-\frac{1}{u}]_1^2 = -\frac{1}{2} - (-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$