与えられた関数について、$n$次導関数を求める問題です。ここでは、問題番号(6),(7),(8)を解きます。 (6) $y = x^2 \cos(2x)$ (7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$ (8) $y = \frac{e^x}{1-x}$

1. 問題の内容

与えられた関数について、$n$次導関数を求める問題です。ここでは、問題番号(6),(7),(8)を解きます。

(6) $y = x^2 \cos(2x)$

(7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2}$

(8) $y = \frac{e^x}{1-x}$

2. 解き方の手順

(6) $y = x^2 \cos(2x)$の$n$次導関数を求める。

ライプニッツの公式を用いる。

ライプニッツの公式は、$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$である。

$u = x^2$, $v = \cos(2x)$とおく。

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \ge 3$.

$v' = -2\sin(2x)$, $v'' = -4\cos(2x)$, $v''' = 8\sin(2x)$, $v'''' = 16\cos(2x)$

一般に、

$v^{(n)} = 2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2})$.

よって、

$y^{(n)} = (x^2)^{(n)} \cos(2x) + n(x^2)^{(n-1)} (\cos(2x))' + \frac{n(n-1)}{2!} (x^2)^{(n-2)} (\cos(2x))'' + ...$

$y^{(n)} = x^2 (2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2})) + n (2x) (2^{n-1} \cos(2x + \frac{(n-1)\pi}{2})) + \frac{n(n-1)}{2} (2) (2^{n-2} \cos(2x + \frac{(n-2)\pi}{2}))$

$y^{(n)} = 2^n x^2 \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) + n 2^n x \cos(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) 2^{n-2} \cos(2x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$y^{(n)} = 2^{n-2} [4x^2 \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) + 4nx \cos(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(2x + \frac{(n-2)\pi}{2})]$

(7) $y = \frac{1}{x^2 - x - 2} = \frac{1}{(x-2)(x+1)}$を部分分数分解する。

$\frac{1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$

$1 = A(x+1) + B(x-2)$

$x = 2$のとき、$1 = 3A$より$A = \frac{1}{3}$

$x = -1$のとき、$1 = -3B$より$B = -\frac{1}{3}$

よって、$y = \frac{1}{3} (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+1})$

$(\frac{1}{x-a})^{(n)} = (-1)^n n! (x-a)^{-n-1}$

$y^{(n)} = \frac{1}{3} [(-1)^n n! (x-2)^{-n-1} - (-1)^n n! (x+1)^{-n-1}]$

$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{3} [\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}]$

(8) $y = \frac{e^x}{1-x}$の$n$次導関数を求める。

ライプニッツの公式を用いる。

$u = e^x$, $v = (1-x)^{-1}$とおく。

$u^{(k)} = e^x$

$v' = (1-x)^{-2}$, $v'' = 2(1-x)^{-3}$, $v''' = 6(1-x)^{-4}$, ...

$v^{(k)} = k! (1-x)^{-k-1}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k e^x k! (1-x)^{-k-1}$

$y^{(n)} = e^x \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} k! (1-x)^{-k-1}$

$y^{(n)} = e^x n! \sum_{k=0}^n \frac{1}{(n-k)! (1-x)^{k+1}}$

$y^{(n)} = \frac{e^x n!}{(1-x)^{n+1}} \sum_{k=0}^n \frac{(1-x)^k}{(n-k)!}$

$y^{(n)} = e^x \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)! (1-x)^{k+1}}$

3. 最終的な答え

(6) $y^{(n)} = 2^{n-2} [4x^2 \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) + 4nx \cos(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(2x + \frac{(n-2)\pi}{2})]$

(7) $y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{3} [\frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}}]$

(8) $y^{(n)} = e^x \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)! (1-x)^{k+1}}$