関数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ ($0 \le x < 2\pi$) について、以下の問いに答えます。 (1) 関数の最大値、最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。 (2) $y = 0$ となる $x$ の値を求めます。 (3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ ($0 \le x < 2\pi$) について、以下の問いに答えます。

(1) 関数の最大値、最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

(2) $y = 0$ となる $x$ の値を求めます。

(3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ を合成します。

$y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$y = 2 (\cos \frac{\pi}{3} \sin x - \sin \frac{\pi}{3} \cos x) = 2 \sin (x - \frac{\pi}{3})$

(1) 最大値と最小値を求めます。

$\sin$ 関数の最大値は $1$、最小値は $-1$ なので、$y$ の最大値は $2 \times 1 = 2$、最小値は $2 \times (-1) = -2$ です。

最大値をとるとき、$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$ となるので、

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)

$x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で考えると、$x = \frac{5\pi}{6}$ です。

最小値をとるとき、$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1$ となるので、

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)

$x = \frac{11\pi}{6} + 2n\pi$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で考えると、$x = \frac{11\pi}{6}$ です。

(2) $y = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$

$x - \frac{\pi}{3} = n\pi$ (nは整数)

$x = \frac{\pi}{3} + n\pi$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で考えると、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ です。

(3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めます。

$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) \le 0$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) \le 0$

$n$ を整数として、$n\pi \le x - \frac{\pi}{3} \le (n+1)\pi$

$\frac{\pi}{3} + n\pi \le x \le \frac{4\pi}{3} + n\pi$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で考えると、

$\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}$ または $\frac{\pi}{3} + \pi \le x \le \frac{4\pi}{3} + \pi$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$\pi \le x < 2 \pi$であるためには

$n = 0$の場合： $\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}$

$n = 1$の場合： $\frac{4\pi}{3} \le x \le \frac{7\pi}{3}$。ただし、$x < 2\pi$なので$\frac{4\pi}{3} \le x < 2\pi$

ゆえに、$\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $2$ ($x = \frac{5\pi}{6}$), 最小値: $-2$ ($x = \frac{11\pi}{6}$)

(2) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(3) $\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}$