$y = \sin(3x)$ のマクローリン展開における第 $n+1$ 項を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \sin(3x)$ のマクローリン展開における第 $n+1$ 項を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin(x)$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$

したがって、$\sin(3x)$ のマクローリン展開は、$x$ を $3x$ に置き換えることで得られます。

$\sin(3x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \frac{(3x)^7}{7!} + \dots$

この展開の第 $n+1$ 項は、$n$ の値を変数とする項です。したがって、第 $n+1$ 項は次のようになります。

$\frac{(-1)^n (3x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

3. 最終的な答え

$\frac{(-1)^n (3x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$