$y = \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ の最大値、最小値と、それらを与える $\theta$ の値を $0 \le \theta \le \pi$ の範囲で求める。

1. 問題の内容

$y = \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ の最大値、最小値と、それらを与える $\theta$ の値を $0 \le \theta \le \pi$ の範囲で求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ を合成します。

$y = 2 \sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta \le \pi$ なので、$\theta - \frac{\pi}{3}$ の範囲は $-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$ となります。

$\sin x$ は $x = \frac{\pi}{2}$ で最大値 1 をとり、$x = -\frac{\pi}{2}$ で最小値 -1 をとります。

$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$ において、$\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ が最大値1をとるのは、$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のときです。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$

このとき、$y = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$

$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$ において、$\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ が最小値をとるのは、$\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ のときです。

$\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ より、$\theta = 0$

このとき、$y = 2 \sin(-\frac{\pi}{3}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$

しかし、$\theta = \frac{2\pi}{3}$の場合を考えると、$y = 2 \sin(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$となります。

最小値を与えるのは、$\theta = 0$のときなので、$y = -\sqrt{3}$となります。

最大値をとるのは、$\theta = \frac{5\pi}{6}$のときで、$y = 2$となります。

最小値をとるのは、$\theta = 0$のときで、$y = -\sqrt{3}$となります。

問題文の画像によると、最大値を与える $\theta$ が $\frac{\pi}{6}$ となっており、最小値の候補である $\theta = \frac{\pi}{12}$ が書かれていることから、画像の式変形が間違っている可能性があります。

$y = 2\sin(\theta-\frac{\pi}{3})$において、

$\theta = \frac{\pi}{12}$を代入すると、$y = 2\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{3}) = 2\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}$となり、最小値は$-\sqrt{3}$であることと矛盾します。

3. 最終的な答え

最大値：2 ($\theta = \frac{5\pi}{6}$)

最小値：$-\sqrt{3}$ ($\theta = 0$)