関数 $y = x|x^2 - 3|$ のグラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x|x^2 - 3|$ のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、絶対値記号を外します。

$x^2 - 3 \geq 0$ のとき、$|x^2 - 3| = x^2 - 3$ なので、$y = x(x^2 - 3) = x^3 - 3x$。

$x^2 - 3 < 0$ のとき、$|x^2 - 3| = -(x^2 - 3) = 3 - x^2$ なので、$y = x(3 - x^2) = 3x - x^3$。

したがって、

$y = \begin{cases}

x^3 - 3x & (x^2 \geq 3) \\

3x - x^3 & (x^2 < 3)

\end{cases}$

これは、

$y = \begin{cases}

x^3 - 3x & (x \leq -\sqrt{3}, \sqrt{3} \leq x) \\

3x - x^3 & (-\sqrt{3} < x < \sqrt{3})

\end{cases}$

次に、$y = x^3 - 3x$ のグラフと $y = 3x - x^3$ のグラフを描きます。

$y = x^3 - 3x$ について、$y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$ なので、$x = \pm 1$ で極値を持ちます。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$。

$x = 1$ のとき、$y = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$。

また、$y = 0$ となるのは、$x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = 0$ より、$x = 0, \pm \sqrt{3}$。

$y = 3x - x^3$ について、$y' = 3 - 3x^2 = 3(1 - x^2)$ なので、$x = \pm 1$ で極値を持ちます。

$x = -1$ のとき、$y = 3(-1) - (-1)^3 = -3 - (-1) = -2$。

$x = 1$ のとき、$y = 3(1) - 1^3 = 3 - 1 = 2$。

また、$y = 0$ となるのは、$3x - x^3 = x(3 - x^2) = 0$ より、$x = 0, \pm \sqrt{3}$。

以上の情報をもとにグラフを描きます。

3. 最終的な答え

最終的な答えはグラフになります。グラフの概形は以下の通りです。

- $x \leq -\sqrt{3}$ の範囲では、$y = x^3 - 3x$ のグラフ。

- $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ の範囲では、$y = 3x - x^3$ のグラフ。

- $\sqrt{3} \leq x$ の範囲では、$y = x^3 - 3x$ のグラフ。

グラフは原点対称であり、$x = \pm \sqrt{3}$ で滑らかに繋がっています。

$x = \pm 1$ で極値を持ちます。