(1) 曲線 $y = -x^4 + 3x + 1$ 上の点 $(2, -9)$ における接線の方程式を求める。 (2) 直線 $y = kx$ が曲線 $y = x^3 - x - 2$ の接線となるときの $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = -x^4 + 3x + 1$ 上の点 $(2, -9)$ における接線の方程式を求める。

(2) 直線 $y = kx$ が曲線 $y = x^3 - x - 2$ の接線となるときの $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた曲線 $y = -x^4 + 3x + 1$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = -4x^3 + 3$

次に、点 $(2, -9)$ における接線の傾きを求めるために、$x = 2$ を $y'$ に代入する。

$y'(2) = -4(2)^3 + 3 = -4(8) + 3 = -32 + 3 = -29$

したがって、接線の傾きは $-29$ である。

点 $(2, -9)$ を通り、傾きが $-29$ の直線の方程式は、

$y - (-9) = -29(x - 2)$

$y + 9 = -29x + 58$

$y = -29x + 58 - 9$

$y = -29x + 49$

(2)

曲線 $y = x^3 - x - 2$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = 3x^2 - 1$

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の傾きは $3t^2 - 1$ となる。

接線の方程式は、

$y - (t^3 - t - 2) = (3t^2 - 1)(x - t)$

$y = (3t^2 - 1)x - 3t^3 + t + t^3 - t - 2$

$y = (3t^2 - 1)x - 2t^3 - 2$

これが直線 $y = kx$ と一致するので、

$k = 3t^2 - 1$

$-2t^3 - 2 = 0$

$-2t^3 = 2$

$t^3 = -1$

$t = -1$

$k = 3(-1)^2 - 1 = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$

したがって、$k = 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = -29x + 49$

(2) $k = 2$