$\int (\sin x + \cos x)^2 dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int (\sin x + \cos x)^2 dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$(\sin x + \cos x)^2$ を展開します。

$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ および $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ を用いると、

$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (\sin x + \cos x)^2 dx = \int (1 + \sin 2x) dx$

積分を分けます。

$\int (1 + \sin 2x) dx = \int 1 dx + \int \sin 2x dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int 1 dx = x + C_1$

$\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C_2$

したがって、

$\int (\sin x + \cos x)^2 dx = x - \frac{1}{2} \cos 2x + C$

3. 最終的な答え

$x - \frac{1}{2} \cos 2x + C$