$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解く。 ① $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ② $\tan \theta + 1 = 0$ ③ $2\sin \theta + 1 \leq 0$ ④ $\tan \theta < \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解く。

① $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

② $\tan \theta + 1 = 0$

③ $2\sin \theta + 1 \leq 0$

④ $\tan \theta < \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

① $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ は、単位円上で $x$ 座標が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる点を探す。

$\theta = \frac{\pi}{4}$ と $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ が解となる。

② $\tan \theta + 1 = 0$

$\tan \theta = -1$

$\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ は、単位円上で傾きが -1 となる点を探す。

$\theta = \frac{3\pi}{4}$ と $\theta = \frac{7\pi}{4}$ が解となる。

③ $2\sin \theta + 1 \leq 0$

$2\sin \theta \leq -1$

$\sin \theta \leq -\frac{1}{2}$

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{7\pi}{6}$ と $\frac{11\pi}{6}$ である。

$\sin \theta \leq -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ の範囲は $\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{11\pi}{6}$ となる。

④ $\tan \theta < \sqrt{3}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ は $\frac{\pi}{3}$ である。

$\tan \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ で定義されないことに注意する。

$0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ では $\tan \theta \geq 0$ であるので、$\tan \theta < \sqrt{3}$ を満たす。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ では、$\tan \theta$ は負の値を取り、$\theta = \pi$ 付近では $0$ に近い値を取る。

$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ では $\tan \theta$ は負の値を取り、$\theta = 2\pi$ に近づくと $0$ に近づく。

したがって、$\tan \theta < \sqrt{3}$ となる $\theta$ の範囲は、

$0 \leq \theta < \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$ となる。

3. 最終的な答え

① $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

② $\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

③ $\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{11\pi}{6}$

④ $0 \leq \theta < \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$