次の不定積分を計算します。 $\int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

分母を $u = \sin x + \cos x$ とおくと、その微分は

$\frac{du}{dx} = \cos x - \sin x$

となります。したがって、

$du = (\cos x - \sin x) dx = -(\sin x - \cos x) dx$

となります。よって、積分は

$\int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int \frac{-du}{u} = - \int \frac{1}{u} du$

と書き換えられます。$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ (Cは積分定数) であるから、

$- \int \frac{1}{u} du = - \ln |u| + C = - \ln |\sin x + \cos x| + C$

となります。

3. 最終的な答え

$- \ln |\sin x + \cos x| + C$