問1: 不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ を求め、$\frac{\text{①}}{\text{②}} x^{\text{③}} + C$ の形で答える。 問2: 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$ を求める。

1. 問題の内容

問1: 不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ を求め、$\frac{\text{①}}{\text{②}} x^{\text{③}} + C$ の形で答える。

問2: 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

問1:

まず、積分を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ なので、

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx$

積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を適用すると、

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C$

よって、$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2x^{\frac{1}{2}} + C$

したがって、①=2, ②=1, ③=1/2となります。

問2:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$ を計算します。

$\frac{1}{\cos^2 x}$ は $\tan x$ の微分であること、つまり $\frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x}$ を知っていれば、

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$

となります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$

答えは1です。

3. 最終的な答え

問1: ①=2, ②=1, ③=1/2

問2: 1