$\sin 2\theta + \cos \theta \geq 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$\sin 2\theta + \cos \theta \geq 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、2倍角の公式を用いて $\sin 2\theta$ を書き換えます。

$$\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$$

これにより、与えられた不等式は次のようになります。

$$2\sin\theta \cos\theta + \cos\theta \geq 0$$

$\cos\theta$ で括ります。

$$\cos\theta (2\sin\theta + 1) \geq 0$$

この不等式が成り立つのは、次の2つの場合です。

(i) $\cos\theta \geq 0$ かつ $2\sin\theta + 1 \geq 0$

(ii) $\cos\theta \leq 0$ かつ $2\sin\theta + 1 \leq 0$

(i) $\cos\theta \geq 0$ かつ $2\sin\theta + 1 \geq 0$ の場合

$\cos\theta \geq 0$ より、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$

$2\sin\theta + 1 \geq 0$ より、$\sin\theta \geq -\frac{1}{2}$

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$ です。

よって、$-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$

(ii) $\cos\theta \leq 0$ かつ $2\sin\theta + 1 \leq 0$ の場合

$\cos\theta \leq 0$ より、$\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2}$

$2\sin\theta + 1 \leq 0$ より、$\sin\theta \leq -\frac{1}{2}$

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$ です。

よって、$\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2}$

したがって、求める解は、$-\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2}$ となります。

ただし、問題文に $\theta$ の範囲の指定がないため、一般解で答える必要があります。$2n\pi$ (nは整数) を考慮すると、

$-\frac{\pi}{6} + 2n\pi \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ または $\frac{7\pi}{6} + 2n\pi \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{\pi}{6} + 2n\pi \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ または $\frac{7\pi}{6} + 2n\pi \leq \theta \leq \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数)