SENSEI AI
About App

問題は、$\int x \cos x \, dx$ を計算することです。これは、部分積分を使って解くことができます。

解析学積分部分積分定積分
2025/6/20

1. 問題の内容

問題は、∫xcos⁡x dx\int x \cos x \, dx を計算することです。これは、部分積分を使って解くことができます。

2. 解き方の手順

部分積分法を使用します。部分積分の公式は次の通りです。
∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du
ここでは、
u=xu = x
dv=cos⁡x dxdv = \cos x \, dx
とします。
すると、
du=dxdu = dx
v=∫cos⁡x dx=sin⁡xv = \int \cos x \, dx = \sin x
となります。
これらの値を部分積分の公式に代入します。
∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−∫sin⁡x dx\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx
∫sin⁡x dx=−cos⁡x\int \sin x \, dx = -\cos x なので、
∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−(−cos⁡x)+C\int x \cos x \, dx = x \sin x - (-\cos x) + C
∫xcos⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C

3. 最終的な答え

最終的な答えは次の通りです。
xsin⁡x+cos⁡x+Cx \sin x + \cos x + C

「解析学」の関連問題

$n$を自然数とするとき、関数 $f(x) = x^2e^x$ の第$n$次導関数 $f^{(n)}(x)$ が、ある定数 $a_n$ を用いて $f^{(n)}(x) = x^2e^x + 2nxe...

微分導関数数学的帰納法指数関数
2025/6/20

媒介変数 $t$ を用いて $x = \cos t$, $y = 2\sin t$ と表される関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求め、さらに曲線上の $t = \frac{\pi}{4}...

微分媒介変数接線三角関数
2025/6/20

次の関数の最大値と最小値を求め、その時の$\theta$の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta \le \pi$とする。 (1) $y = \sin{\theta} - \sqrt{3}\c...

三角関数最大値最小値三角関数の合成加法定理
2025/6/20

問題は、0 <= θ < 2π の範囲で、以下の三角関数に関する方程式と不等式を解くことです。 (1) $sin θ + \sqrt{3} cos θ = \sqrt{3}$ (2) $cos 2θ ...

三角関数三角方程式三角不等式三角関数の合成
2025/6/20

与えられた三角関数の値を求める問題です。具体的には、sin, cos, tan の特定の角度における値を計算します。角度はラジアンで与えられています。

三角関数sincostanラジアン単位円
2025/6/20

$\sin 2\theta + \cos \theta \geq 0$ を解く問題です。

三角関数不等式三角関数の合成解の範囲
2025/6/20

与えられた問題は、以下の2つの極限を求めることです。 (1) $\lim_{x \to \infty} 3^x$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$

極限指数関数収束発散
2025/6/20

問1: 不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ を求め、$\frac{\text{①}}{\text{②}} x^{\text{③}} + C$ の形で答える。 問2: 定...

積分不定積分定積分積分計算三角関数
2025/6/20

以下の5つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to\infty} 3^x$ (2) $\lim_{x\to\infty} \log_5 x$ (3) $\lim_{x\to-\inft...

極限関数三角関数指数関数対数関数
2025/6/20

$y = \sin(3x)$ のマクローリン展開の第 $n+1$ 項を求める問題です。問題文から、$(-1)^{\text{ア}} (3x)^{\text{イ}} / (\text{ウ})!$ の $...

マクローリン展開三角関数テイラー展開級数
2025/6/20