媒介変数 $t$ を用いて $x = \cos t$, $y = 2\sin t$ と表される関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求め、さらに曲線上の $t = \frac{\pi}{4}$ に対応する点における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = \cos t$, $y = 2\sin t$ と表される関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求め、さらに曲線上の $t = \frac{\pi}{4}$ に対応する点における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ である。

$x = \cos t$ より、$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$y = 2\sin t$ より、$\frac{dy}{dt} = 2\cos t$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos t}{-\sin t} = -2\cot t$

次に、$t = \frac{\pi}{4}$ のときの接線の方程式を求める。

$t = \frac{\pi}{4}$ のとき、$x = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、 $y = 2\sin \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

よって、接点は $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2})$ である。

$t = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -2\cot \frac{\pi}{4} = -2 \cdot 1 = -2$

よって、接線の傾きは $-2$ である。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ であり、$(x_1, y_1) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2})$、 $m = -2$ を代入すると、

$y - \sqrt{2} = -2(x - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y - \sqrt{2} = -2x + \sqrt{2}$

$y = -2x + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -2\cot t$

$t = \frac{\pi}{4}$ における接線の方程式は、 $y = -2x + 2\sqrt{2}$