関数 $f(x,y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について、以下の問題を解きます。 (a) 勾配ベクトル $\nabla f(-7,6)$ を求めます。 (b) 方向ベクトル $(1,2)$ を持つ直線 $e$ について、方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(-7,6)$ を求めます。 (c) $\frac{\partial f}{\partial \ell}(-7,6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $\ell$ と、その方向微分係数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = x^2 + 3xy + 2y^2$ について、以下の問題を解きます。

(a) 勾配ベクトル $\nabla f(-7,6)$ を求めます。

(b) 方向ベクトル $(1,2)$ を持つ直線 $e$ について、方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(-7,6)$ を求めます。

(c) $\frac{\partial f}{\partial \ell}(-7,6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $\ell$ と、その方向微分係数を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 勾配ベクトル $\nabla f(x,y)$ を求めるには、まず $x$ と $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 4y$

したがって、$\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) = (2x + 3y, 3x + 4y)$ です。

次に、点 $(-7,6)$ における勾配ベクトルを計算します。

$\nabla f(-7,6) = (2(-7) + 3(6), 3(-7) + 4(6)) = (-14 + 18, -21 + 24) = (4, 3)$

(b) 方向ベクトル $(1,2)$ を持つ直線 $e$ についての方向微分を求めます。まず、方向ベクトルを単位ベクトルに変換します。

$||(1,2)|| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

単位ベクトル $\hat{e} = \frac{1}{\sqrt{5}}(1,2) = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$

方向微分は $\frac{\partial f}{\partial e}(-7,6) = \nabla f(-7,6) \cdot \hat{e}$ で求められます。

$\frac{\partial f}{\partial e}(-7,6) = (4,3) \cdot (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}) = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

(c) 方向微分 $\frac{\partial f}{\partial \ell}(-7,6)$ が最大となる方向の単位ベクトル $\ell$ は、勾配ベクトル $\nabla f(-7,6)$ の方向と同じです。

$\nabla f(-7,6) = (4,3)$ の大きさは $||(4,3)|| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

したがって、単位ベクトル $\ell = \frac{1}{5}(4,3) = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ です。

その方向微分係数は $\frac{\partial f}{\partial \ell}(-7,6) = ||\nabla f(-7,6)|| = 5$ です。

3. 最終的な答え

(a) $\nabla f(-7,6) = (4,3)$

(b) $\frac{\partial f}{\partial e}(-7,6) = 2\sqrt{5}$

(c) $\ell = \left(\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)$, $\frac{\partial f}{\partial \ell}(-7,6) = 5$