与えられた三角関数の等式 $ \frac{\cos\theta - 1}{\sin\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta - 1} = -\frac{2}{\sin\theta} $ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の等式 $\frac{\cos\theta - 1}{\sin\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta - 1} = -\frac{2}{\sin\theta}$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、左辺を通分します。

$\frac{(\cos\theta - 1)^2 + \sin^2\theta}{\sin\theta (\cos\theta - 1)} = -\frac{2}{\sin\theta}$

分子を展開し、三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して整理します。

$\frac{\cos^2\theta - 2\cos\theta + 1 + \sin^2\theta}{\sin\theta (\cos\theta - 1)} = -\frac{2}{\sin\theta}$

$\frac{1 - 2\cos\theta + 1}{\sin\theta (\cos\theta - 1)} = -\frac{2}{\sin\theta}$

$\frac{2 - 2\cos\theta}{\sin\theta (\cos\theta - 1)} = -\frac{2}{\sin\theta}$

$\frac{2(1 - \cos\theta)}{\sin\theta (\cos\theta - 1)} = -\frac{2}{\sin\theta}$

$\frac{-2(\cos\theta - 1)}{\sin\theta (\cos\theta - 1)} = -\frac{2}{\sin\theta}$

ここで、$\cos\theta \neq 1$　と仮定して、$\cos\theta - 1$ で約分します。

$-\frac{2}{\sin\theta} = -\frac{2}{\sin\theta}$

この等式は常に成り立ちます。

しかし、$\cos\theta = 1$ となる場合は、 $\theta = 2n\pi$ （nは整数）であり、このとき $\sin\theta = 0$ となるため、元の式の分母が0となり、定義できません。

また、$\sin\theta = 0$となる場合も、$\theta = n\pi$ （nは整数）であり、元の式の分母が0となり定義できません。

したがって、解は存在しません。

3. 最終的な答え

解なし