定積分 $\int_{-1}^{1} x \arcsin(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} x \arcsin(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って計算します。

$u = \arcsin(x)$, $dv = x dx$ とすると、

$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

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\int_{-1}^{1} x \arcsin(x) dx = \left[ \frac{x^2}{2} \arcsin(x) \right]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx

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まず、$\left[ \frac{x^2}{2} \arcsin(x) \right]_{-1}^{1}$ を計算します。

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\frac{1^2}{2} \arcsin(1) - \frac{(-1)^2}{2} \arcsin(-1) = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

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次に、$\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

$x = \sin(\theta)$ と置換すると、$dx = \cos(\theta) d\theta$ となり、$x = -1$ のとき $\theta = -\frac{\pi}{2}$、$x = 1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

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\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2(\theta)}{2} \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}} \cos(\theta) d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2(\theta)}{2} \frac{1}{\cos(\theta)} \cos(\theta) d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2(\theta)}{2} d\theta

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\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2(\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2(\theta) d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 - \cos(2\theta)) d\theta

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= \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin(-\pi)\right) \right] = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{4}

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したがって、

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\int_{-1}^{1} x \arcsin(x) dx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}

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3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$