与えられた関数 $y = \frac{x}{(3x-2)^2}$ の微分を求め、$\frac{dy}{dx}$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x}{(3x-2)^2}$ の微分を求め、$\frac{dy}{dx}$ を計算する。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いて、関数 $y = \frac{u}{v}$ の微分を計算する。

商の微分公式は以下の通り。

$\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

ここで、$u = x$、$v = (3x-2)^2$ とおく。

まず、$u$ の微分 $\frac{du}{dx}$ を計算する。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$

次に、$v$ の微分 $\frac{dv}{dx}$ を計算する。

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(3x-2)^2 = 2(3x-2) \cdot \frac{d}{dx}(3x-2) = 2(3x-2) \cdot 3 = 6(3x-2)$

これらの結果を商の微分公式に代入する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(3x-2)^2 \cdot 1 - x \cdot 6(3x-2)}{((3x-2)^2)^2} = \frac{(3x-2)^2 - 6x(3x-2)}{(3x-2)^4}$

分子を簡略化する。

$(3x-2)^2 - 6x(3x-2) = (3x-2)(3x-2 - 6x) = (3x-2)(-3x-2)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(3x-2)(-3x-2)}{(3x-2)^4} = \frac{-3x-2}{(3x-2)^3}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3x-2}{(3x-2)^3}$