関数 $y = \sin\theta + \cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta$ について、以下の問いに答えます。 (1) $t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくとき、$t$ の値の範囲を求めます。 (2) $\sin\theta\cos\theta$ を (1) の $t$ を用いて表します。 (3) 関数 $y$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin\theta + \cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta$ について、以下の問いに答えます。

(1) $t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくとき、$t$ の値の範囲を求めます。

(2) $\sin\theta\cos\theta$ を (1) の $t$ を用いて表します。

(3) 関数 $y$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin\theta + \cos\theta$ を変形します。三角関数の合成公式を用いると、

$t = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$\theta$ の範囲が特に指定されていないので、$\theta + \frac{\pi}{4}$ はすべての実数値を取り得ます。したがって、

$-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$t$ の範囲は

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $t = \sin\theta + \cos\theta$ の両辺を2乗します。

$t^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2$

$t^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

$t^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$

(3) (2) の結果を $y = \sin\theta + \cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta$ に代入します。

$y = t - 2(\frac{t^2 - 1}{2})$

$y = t - (t^2 - 1)$

$y = -t^2 + t + 1$

$y = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$

$t$ の範囲は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ であり、 $y = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$ は上に凸な2次関数であるため、$t = \frac{1}{2}$ で最大値 $\frac{5}{4}$ をとります。

また、$t = -\sqrt{2}$ のとき、

$y = -(-\sqrt{2} - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4} = -(2 + \sqrt{2} + \frac{1}{4}) + \frac{5}{4} = -2 - \sqrt{2} - \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = -2 - \sqrt{2} + 1 = -1 - \sqrt{2}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、

$y = -(\sqrt{2} - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4} = -(2 - \sqrt{2} + \frac{1}{4}) + \frac{5}{4} = -2 + \sqrt{2} - \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = -2 + \sqrt{2} + 1 = -1 + \sqrt{2}$

$-1 - \sqrt{2} \approx -2.414$

$-1 + \sqrt{2} \approx 0.414$

したがって、最大値は $\frac{5}{4}$ で、最小値は $-1 - \sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$

(3) 最大値：$\frac{5}{4}$、最小値：$-1 - \sqrt{2}$