問題は多変数関数の極限を求める問題と、偏導関数の定義を記述する問題、そして多変数関数の偏微分を求める問題です。具体的には以下の問題があります。 * HW 11.1 (1) $ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} $ を求めよ。 * HW 11.1 (2) $ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-2y^2}{2x^2+y^2} $ を求めよ。 * HW 11.2 関数 $f(x,y)$ の $y$ についての偏導関数 $f_y$ の定義を述べよ。 * HW 11.3 (1) $f(x,y) = (3x - 4y + 5)^{10}$ を偏微分せよ。 * HW 11.3 (2) $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + 2y^2}$ を偏微分せよ。

1. 問題の内容

問題は多変数関数の極限を求める問題と、偏導関数の定義を記述する問題、そして多変数関数の偏微分を求める問題です。具体的には以下の問題があります。

* HW 11.1 (1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$ を求めよ。

* HW 11.1 (2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-2y^2}{2x^2+y^2}$ を求めよ。

* HW 11.2 関数 $f(x,y)$ の $y$ についての偏導関数 $f_y$ の定義を述べよ。

* HW 11.3 (1) $f(x,y) = (3x - 4y + 5)^{10}$ を偏微分せよ。

* HW 11.3 (2) $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + 2y^2}$ を偏微分せよ。

2. 解き方の手順

* HW 11.1 (1):

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、

$\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{r} = r(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = r\cos(2\theta)$

$(x,y) \to (0,0)$ のとき $r \to 0$ なので、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{r\to 0} r\cos(2\theta) = 0$

* HW 11.1 (2):

$y = kx$ という経路に沿って$(0, 0)$に近づくことを考えます。このとき、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-2y^2}{2x^2+y^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2 - 2(kx)^2}{2x^2 + (kx)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(1-2k^2)}{x^2(2+k^2)} = \frac{1-2k^2}{2+k^2}$

この値は $k$ によって異なるため、極限は存在しません。

* HW 11.2:

$f(x,y)$ の $y$ についての偏導関数 $f_y(x,y)$ の定義は

$f_y(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x,y)}{h}$

* HW 11.3 (1):

$f(x,y) = (3x - 4y + 5)^{10}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 10(3x - 4y + 5)^9 \cdot 3 = 30(3x - 4y + 5)^9$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10(3x - 4y + 5)^9 \cdot (-4) = -40(3x - 4y + 5)^9$

* HW 11.3 (2):

$f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + 2y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y(x^2 + 2y^2) - xy(2x)}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x^2y + 2y^3 - 2x^2y}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{2y^3 - x^2y}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{y(2y^2 - x^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x(x^2 + 2y^2) - xy(4y)}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x^3 + 2xy^2 - 4xy^2}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x^3 - 2xy^2}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x(x^2 - 2y^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$

3. 最終的な答え

* HW 11.1 (1): $0$

* HW 11.1 (2): 極限は存在しない

* HW 11.2: $f_y(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x,y)}{h}$

* HW 11.3 (1): $\frac{\partial f}{\partial x} = 30(3x - 4y + 5)^9$, $\frac{\partial f}{\partial y} = -40(3x - 4y + 5)^9$

* HW 11.3 (2): $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y(2y^2 - x^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$, $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x(x^2 - 2y^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$