関数 $y = |x-1| - 2|x+1|$ の $-4 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = |x-1| - 2|x+1|$ の $-4 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x < -1$ のとき

$x-1 < 0$ かつ $x+1 < 0$ なので、

$|x-1| = -(x-1) = -x+1$

$|x+1| = -(x+1) = -x-1$

したがって、

$y = (-x+1) - 2(-x-1) = -x+1+2x+2 = x+3$

(ii) $-1 \le x < 1$ のとき

$x-1 < 0$ かつ $x+1 \ge 0$ なので、

$|x-1| = -(x-1) = -x+1$

$|x+1| = x+1$

したがって、

$y = (-x+1) - 2(x+1) = -x+1-2x-2 = -3x-1$

(iii) $x \ge 1$ のとき

$x-1 \ge 0$ かつ $x+1 > 0$ なので、

$|x-1| = x-1$

$|x+1| = x+1$

したがって、

$y = (x-1) - 2(x+1) = x-1-2x-2 = -x-3$

まとめると、

$y = \begin{cases}

x+3 & (-4 \le x < -1) \\

-3x-1 & (-1 \le x < 1) \\

-x-3 & (1 \le x \le 2)

\end{cases}$

それぞれの区間で最大値と最小値を求めます。

(i) $-4 \le x < -1$ のとき

$y = x+3$ は単調増加なので、$x = -4$ のとき $y = -1$、$x = -1$ のとき $y = 2$ （ただし、$x = -1$ は含まない）。

したがって、$-1 \le y < 2$

(ii) $-1 \le x < 1$ のとき

$y = -3x-1$ は単調減少なので、$x = -1$ のとき $y = 2$、$x = 1$ のとき $y = -4$ （ただし、$x = 1$ は含まない）。

したがって、$-4 < y \le 2$

(iii) $1 \le x \le 2$ のとき

$y = -x-3$ は単調減少なので、$x = 1$ のとき $y = -4$、$x = 2$ のとき $y = -5$。

したがって、$-5 \le y \le -4$

したがって、最大値は $2$、最小値は $-5$。

3. 最終的な答え

最大値：2

最小値：-5