$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ である。このとき、$\sin 2\theta$, $\cos \frac{\theta}{2}$, $\cos 3\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ である。このとき、$\sin 2\theta$, $\cos \frac{\theta}{2}$, $\cos 3\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \theta$ の値を求める。$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\cos \theta < 0$ なので、

$\cos \theta = - \sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\sin 2\theta$ の値を求める。

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$

次に、$\cos \frac{\theta}{2}$ の値を求める。$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$ なので、$\cos \frac{\theta}{2} > 0$ である。

$\cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ より、

$2\cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}$

$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}$

$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}} = \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$

最後に、$\cos 3\theta$ の値を求める。

$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$

$= 4\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = 4\left(-\frac{16\sqrt{2}}{27}\right) + 2\sqrt{2} = -\frac{64\sqrt{2}}{27} + \frac{54\sqrt{2}}{27} = -\frac{10\sqrt{2}}{27}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\theta = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$

$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$

$\cos 3\theta = -\frac{10\sqrt{2}}{27}$