$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。 (1) $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。

(1) $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解く。

$\theta - \frac{\pi}{3} = t$ とおくと、$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、 $-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3}$ であるから、 $-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3}$。

$\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $t$ は、 $t = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

したがって、 $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ より、 $\theta = \frac{5\pi}{3}, 2\pi$。

ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$\theta = \frac{5\pi}{3}$。

(3) $\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を解く。

$\theta + \frac{\pi}{4} = t$ とおくと、$\tan t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} < 2\pi + \frac{\pi}{4}$ であるから、$\frac{\pi}{4} \le t < \frac{9\pi}{4}$。

$\tan t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす $t$ は、$t = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$。

したがって、 $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ より、 $\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{14\pi - 12\pi}{24} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$と $\theta = \frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{4} = \frac{14\pi - 3\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$ と $\frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{4} = \frac{26\pi - 3\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$。

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi-3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$となり、条件$0 \le \theta < 2\pi$を満たさない。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{26\pi-3\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$

$\theta = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{14\pi-3\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$

$\theta = \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{26\pi-3\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$

$\tan(\theta+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ より

$\theta+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + n\pi = -\frac{\pi}{12} + n\pi$

$0 \le \theta < 2\pi$ より

$0 \le -\frac{\pi}{12} + n\pi < 2\pi$

$\frac{1}{12} \le n < 2+\frac{1}{12}$

$n=1,2$

$\theta = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$

$\theta = -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{5\pi}{3}$

(3) $\theta = \frac{11\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}$