与えられた2変数関数の極限を求め、偏導関数の定義を述べ、与えられた関数を偏微分する問題です。具体的には以下の3つの問題があります。 * 問題1：$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ を求める。 * 問題2：$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - 2y^2}{2x^2 + y^2}$ を求める。 * 問題3：関数 $f(x,y)$ の $y$ についての偏導関数 $f_y$ の定義を述べる。 * 問題4：関数 $f(x,y) = (3x - 4y + 5)^{10}$ を偏微分する。 * 問題5：関数 $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + 2y^2}$ を偏微分する。

1. 問題の内容

与えられた2変数関数の極限を求め、偏導関数の定義を述べ、与えられた関数を偏微分する問題です。具体的には以下の3つの問題があります。

* 問題1：$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ を求める。

* 問題2：$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - 2y^2}{2x^2 + y^2}$ を求める。

* 問題3：関数 $f(x,y)$ の $y$ についての偏導関数 $f_y$ の定義を述べる。

* 問題4：関数 $f(x,y) = (3x - 4y + 5)^{10}$ を偏微分する。

* 問題5：関数 $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + 2y^2}$ を偏微分する。

2. 解き方の手順

* 問題1：

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、与式は

$$\lim_{r \to 0} \frac{r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{r} = \lim_{r \to 0} r(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 0$$

となる。

* 問題2：

$y = mx$ に沿って $(0,0)$ に近づけることを考える。

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 2m^2x^2}{2x^2 + m^2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - 2m^2}{2 + m^2} = \frac{1 - 2m^2}{2 + m^2}$$

これは $m$ の値によって異なる値を取るため、極限は存在しない。

* 問題3：

$f_y(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x,y)}{h}$

* 問題4：

$f_x(x,y) = 10(3x - 4y + 5)^9 \cdot 3 = 30(3x - 4y + 5)^9$

$f_y(x,y) = 10(3x - 4y + 5)^9 \cdot (-4) = -40(3x - 4y + 5)^9$

* 問題5：

$f_x(x,y) = \frac{y(x^2 + 2y^2) - xy(2x)}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{y(2y^2 - x^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$

$f_y(x,y) = \frac{x(x^2 + 2y^2) - xy(4y)}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x(x^2 - 2y^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$

3. 最終的な答え

* 問題1：0

* 問題2：極限は存在しない

* 問題3：$f_y(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x,y)}{h}$

* 問題4：$f_x(x,y) = 30(3x - 4y + 5)^9$, $f_y(x,y) = -40(3x - 4y + 5)^9$

* 問題5：$f_x(x,y) = \frac{y(2y^2 - x^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$, $f_y(x,y) = \frac{x(x^2 - 2y^2)}{(x^2 + 2y^2)^2}$