関数 $f(x) = 8\sqrt{3}\cos^2 x + 6\sin x\cos x + 2\sqrt{3}\sin^2 x$ について、以下の問題を解く。 (1) $f(x)$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ を用いて表せ。 (2) $0 \le x \le \pi$ であるとき、関数 $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 8\sqrt{3}\cos^2 x + 6\sin x\cos x + 2\sqrt{3}\sin^2 x$ について、以下の問題を解く。

(1) $f(x)$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ を用いて表せ。

(2) $0 \le x \le \pi$ であるとき、関数 $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ を用いて表す。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$, $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ を用いる。

$f(x) = 8\sqrt{3}\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) + 6\left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) + 2\sqrt{3}\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)$

$= 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\cos 2x + 3\sin 2x + \sqrt{3} - \sqrt{3}\cos 2x$

$= 3\sqrt{3}\cos 2x + 3\sin 2x + 5\sqrt{3}$

$= 3(\sqrt{3}\cos 2x + \sin 2x) + 5\sqrt{3}$

ここで、$\sqrt{3}\cos 2x + \sin 2x = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x\right) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$

したがって、

$f(x) = 6\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 5\sqrt{3}$

(2) $0 \le x \le \pi$ であるとき、$f(x)$ の最大値と最小値を求める。

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le 2x + \frac{\pi}{3} \le 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$.

$\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ の最大値は $1$ (when $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$, i.e., $x = \frac{\pi}{12}$),

$\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ の最小値は $-1$ (when $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$, i.e., $x = \frac{7\pi}{12}$).

したがって、$f(x)$ の最大値は $6(1) + 5\sqrt{3} = 6 + 5\sqrt{3}$ ($x = \frac{\pi}{12}$ のとき).

$f(x)$ の最小値は $6(-1) + 5\sqrt{3} = -6 + 5\sqrt{3}$ ($x = \frac{7\pi}{12}$ のとき).

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 6\sin(2x + \frac{\pi}{3}) + 5\sqrt{3}$

(2) 最大値：$6 + 5\sqrt{3}$ ($x = \frac{\pi}{12}$ のとき)

最小値：$-6 + 5\sqrt{3}$ ($x = \frac{7\pi}{12}$ のとき)