$3\sin\theta + \cos\theta = 3$ が成り立つとき、$\sin 2\theta$ の値を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ です。

1. 問題の内容

$3\sin\theta + \cos\theta = 3$ が成り立つとき、$\sin 2\theta$ の値を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ です。

2. 解き方の手順

与えられた式 $3\sin\theta + \cos\theta = 3$ を変形して $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求め、$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を使って計算します。

まず、$3\sin\theta = 3 - \cos\theta$ と変形します。両辺を2乗すると、

$$9\sin^2\theta = (3 - \cos\theta)^2$$

$$9\sin^2\theta = 9 - 6\cos\theta + \cos^2\theta$$

ここで、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いると、

$$9(1 - \cos^2\theta) = 9 - 6\cos\theta + \cos^2\theta$$

$$9 - 9\cos^2\theta = 9 - 6\cos\theta + \cos^2\theta$$

$$0 = 10\cos^2\theta - 6\cos\theta$$

$$0 = 2\cos\theta(5\cos\theta - 3)$$

したがって、$\cos\theta = 0$ または $\cos\theta = \frac{3}{5}$ となります。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos\theta > 0$ であるため、$\cos\theta = 0$ は不適です。よって、$\cos\theta = \frac{3}{5}$ です。

このとき、$3\sin\theta + \cos\theta = 3$ に $\cos\theta = \frac{3}{5}$ を代入すると、

$3\sin\theta + \frac{3}{5} = 3$

$3\sin\theta = 3 - \frac{3}{5} = \frac{12}{5}$

$\sin\theta = \frac{4}{5}$

したがって、

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

3. 最終的な答え

$\frac{24}{25}$