与えられた定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} \sin^3{x} dx$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} \sin^3{x} dx$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数 $f(x) = \cos{x} \sin^3{x}$ を考えます。

この関数が奇関数かどうかを調べます。

$f(-x) = \cos{(-x)} \sin^3{(-x)} = \cos{x} (-\sin{x})^3 = \cos{x} (-\sin^3{x}) = - \cos{x} \sin^3{x} = -f(x)$

したがって、$f(x)$は奇関数です。

奇関数の積分範囲が原点に関して対称である場合、積分の値は0になります。

つまり、$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$（$f(x)$が奇関数の場合）。

今回の問題では、積分範囲は$-\frac{\pi}{2}$から$\frac{\pi}{2}$であり、原点に関して対称です。

3. 最終的な答え

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x} \sin^3{x} dx = 0$