与えられた4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{x^2}$ (2) $\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$ (3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$ (4) $\lim_{x\to 1} \frac{x\log x}{1-x^2}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{x^2}$

(2) $\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

(4) $\lim_{x\to 1} \frac{x\log x}{1-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) 分母分子に$\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}$をかけます。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})}{x^2(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})} = \lim_{x\to 0} \frac{(1+x^2) - (1-x^2)}{x^2(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{x^2(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}$

$x \to 0$のとき、$\sqrt{1+x^2} \to 1$、$\sqrt{1-x^2} \to 1$なので、$\lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{1+1} = 1$

(2) 分母分子に$\sqrt{x+1} + \sqrt{x}$をかけます。

$\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) = \lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1)} = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$なので、$\lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{\sqrt{2}}{1+1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{6x}{5x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{6x}{5x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$なので、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$

(4) $\lim_{x\to 1} \frac{x\log x}{1-x^2} = \lim_{x\to 1} \frac{x\log x}{(1-x)(1+x)}$

ここで、$x = 1+h$とおくと、$x \to 1$のとき、$h \to 0$となる。

$\lim_{x\to 1} \frac{x\log x}{(1-x)(1+x)} = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h)\log (1+h)}{(1-(1+h))(1+(1+h))} = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h)\log (1+h)}{(-h)(2+h)} = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h)}{2+h} \cdot \lim_{h\to 0} \frac{\log(1+h)}{-h}$

$\lim_{h\to 0} \frac{\log(1+h)}{h} = 1$なので、$\lim_{x\to 1} \frac{x\log x}{1-x^2} = \frac{1+0}{2+0} \cdot (-1) = \frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\frac{6}{5}$

(4) $-\frac{1}{2}$