実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = x^2$ ($a-1 \leq x \leq a+1$) の最小値を $m(a)$ とする。 $f(x)$ のグラフは頂点が原点であり、直線 $l: x=0$ を軸にもつ放物線Cである。 $0$ が区間 $a-1 \leq x \leq a+1$ に含まれるか否かで場合分けして、$m(a)$ を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = x^2$ ($a-1 \leq x \leq a+1$) の最小値を $m(a)$ とする。 $f(x)$ のグラフは頂点が原点であり、直線 $l: x=0$ を軸にもつ放物線Cである。 $0$ が区間 $a-1 \leq x \leq a+1$ に含まれるか否かで場合分けして、$m(a)$ を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2$ は下に凸の放物線なので、区間内で軸 $x=0$ がどこにあるかで場合分けして考える。

(i) $a < -1$ のとき

区間 $a-1 \leq x \leq a+1$ は $x=0$ より右側にあるので、$x=a-1$ で最小となる。

$m(a) = f(a-1) = (a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$

(ii) $-1 \leq a \leq 1$ のとき

区間 $a-1 \leq x \leq a+1$ は $x=0$ を含むので、$x=0$ で最小となる。

$m(a) = f(0) = 0$

(iii) $a > 1$ のとき

区間 $a-1 \leq x \leq a+1$ は $x=0$ より左側にあるので、$x=a+1$ で最小となる。

$m(a) = f(a+1) = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$

3. 最終的な答え

(i) $a < -1$ のとき

$m(a) = a^2 - 2a + 1$

(ii) $-1 \leq a \leq 1$ のとき

$m(a) = 0$

(iii) $a > 1$ のとき

$m(a) = a^2 + 2a + 1$