問題は次の2つの主張の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げるものです。 (1) $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$, $\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$ ならば $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0$ (2) $\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = 0$, $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0$ ならば $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = 0$

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題は次の2つの主張の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げるものです。

(1) $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$, $\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$ ならば $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0$

(2) $\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = 0$, $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0$ ならば $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = 0$

2. 解き方の手順

(1) の主張について

$a_n$ と $b_n$ がともに無限大に発散する場合、$a_n - b_n$ の極限は不定形となります。

反例として、$a_n = n+1$、$b_n = n$ を考えます。

このとき、$\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$、$\lim_{n\to\infty} b_n = \infty$ ですが、$a_n - b_n = (n+1) - n = 1$ より、

$\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 1 \neq 0$ となります。したがって、主張は偽です。

(2) の主張について

$\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = 0$ と $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = 0$ が成り立つとき、

$a_n$ と $b_n$ の極限を求めます。

2つの式を足し合わせると、

$\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) + \lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = \lim_{n\to\infty} 2a_n = 0$

したがって、$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ が得られます。

2つの式を引き算すると、

$\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) - \lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = \lim_{n\to\infty} 2b_n = 0$

したがって、$\lim_{n\to\infty} b_n = 0$ が得られます。

よって、$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = 0$ となり、主張は真です。

3. 最終的な答え

(1) 偽 (反例：$a_n = n+1$, $b_n = n$)

(2) 真