$\int_{-1}^{1} \arctan(x) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{-1}^{1} \arctan(x) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

不定積分 $\int \arctan(x) dx$ を求めるために、部分積分を用います。

$u = \arctan(x)$ と $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{1+x^2} dx$ と $v = x$ となります。

よって、

$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} dx$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算するために、$t = 1+x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$ となります。

よって、$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln|t| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

したがって、$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

定積分 $\int_{-1}^{1} \arctan(x) dx$ を計算すると、

$\int_{-1}^{1} \arctan(x) dx = \left[x\arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)\right]_{-1}^{1}$

$= \left(1 \cdot \arctan(1) - \frac{1}{2} \ln(1+1^2)\right) - \left((-1) \cdot \arctan(-1) - \frac{1}{2} \ln(1+(-1)^2)\right)$

$= \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(2)\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(2)\right) = 0$

3. 最終的な答え

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