定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin{x}\sqrt{1+\cos{x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin{x}\sqrt{1+\cos{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$t = 1 + \cos{x}$ と置くと、$dt = -\sin{x} dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$t = 1 + \cos{0} = 1 + 1 = 2$

$x = \pi$ のとき、$t = 1 + \cos{\pi} = 1 + (-1) = 0$

よって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\pi} \sin{x} \sqrt{1+\cos{x}} dx = \int_{2}^{0} \sqrt{t} (-dt) = \int_{0}^{2} \sqrt{t} dt$

$\sqrt{t} = t^{1/2}$ なので、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{2} t^{1/2} dt = \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{0}^{2}$

$=\frac{2}{3} (2^{3/2}) - \frac{2}{3} (0^{3/2}) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2}) - 0 = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{2}}{3}$