$\int_{-1}^{1} x \arcsin x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_{-1}^{1} x \arcsin x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$u = \arcsin x$, $dv = x \, dx$ とすると、

$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$\int_{-1}^{1} x \arcsin x \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \arcsin x \right]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} \frac{1}{2}x^2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$= \frac{1}{2}(1)^2 \arcsin(1) - \frac{1}{2}(-1)^2 \arcsin(-1) - \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

$= \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

ここで、$\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算します。

$x = \sin \theta$ と置換すると、$dx = \cos \theta \, d\theta$ となり、積分範囲は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ となります。

$\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \cos \theta \, d\theta$

$= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta \, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta$

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ なので、

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta$

$= \frac{1}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{2} \left[ (\frac{\pi}{2} - 0) - (-\frac{\pi}{2} - 0) \right] = \frac{1}{2} (\pi) = \frac{\pi}{2}$

したがって、

$\int_{-1}^{1} x \arcsin x \, dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$