定積分 $\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \tan^2 x \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \tan^2 x \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^2 x$ を $\sec^2 x - 1$ で置き換えます。

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \tan^2 x \, dx = \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} (\sec^2 x - 1) \, dx$

次に、$\sec^2 x$ と $-1$ を別々に積分します。$\sec^2 x$ の積分は $\tan x$ であり、$-1$ の積分は $-x$ です。

$\int (\sec^2 x - 1) \, dx = \tan x - x + C$

次に、定積分の境界を適用します。

$\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} (\sec^2 x - 1) \, dx = \left[ \tan x - x \right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$のとき、$tan(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1.08$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき、$tan(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0.75$

ここで画像を再度確認すると、$x$の範囲が$\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $\frac{\sqrt{2}}{2}$ではなく、$\frac{\pi}{6}$から$\frac{\pi}{3}$の間の角度ではないかと推測できます.

$tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

$tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

そのため角度範囲が$\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $\frac{\sqrt{2}}{2}$ではなく、$\frac{\pi}{6}$から$\frac{\pi}{3}$であるとして計算をやり直します.

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \tan^2 x \, dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\sec^2 x - 1) \, dx$

$\int (\sec^2 x - 1) \, dx = \tan x - x + C$

境界を適用します。

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\sec^2 x - 1) \, dx = \left[ \tan x - x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = (\tan \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) - (\tan \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = (\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}) - (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} - \frac{2\pi-\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6}$