定積分 $\int_0^1 \sqrt{1+\sqrt{x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \sqrt{1+\sqrt{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sqrt{x}$ と置換します。すると、$x = t^2$ となり、$dx = 2t dt$ となります。積分の範囲は $x: 0 \to 1$ に対して、$t: 0 \to 1$ となります。

$\int_0^1 \sqrt{1+\sqrt{x}} dx = \int_0^1 \sqrt{1+t} \cdot 2t dt = 2\int_0^1 t\sqrt{1+t} dt$

次に、$u = 1+t$ と置換します。すると、$t = u-1$ となり、$dt = du$ となります。積分の範囲は $t: 0 \to 1$ に対して、$u: 1 \to 2$ となります。

$2\int_0^1 t\sqrt{1+t} dt = 2\int_1^2 (u-1)\sqrt{u} du = 2\int_1^2 (u^{3/2}-u^{1/2}) du$

$= 2 \left[ \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} \right]_1^2$

$= 2 \left[ \left( \frac{2}{5}2^{5/2} - \frac{2}{3}2^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \right) \right]$

$= 2 \left[ \left( \frac{2}{5}4\sqrt{2} - \frac{2}{3}2\sqrt{2} \right) - \left( \frac{6-10}{15} \right) \right]$

$= 2 \left[ \left( \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) - \left( -\frac{4}{15} \right) \right]$

$= 2 \left[ \left( \frac{24\sqrt{2} - 20\sqrt{2}}{15} \right) + \frac{4}{15} \right]$

$= 2 \left[ \frac{4\sqrt{2}}{15} + \frac{4}{15} \right]$

$= \frac{8\sqrt{2}}{15} + \frac{8}{15} = \frac{8}{15}(\sqrt{2}+1)$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{15}(\sqrt{2}+1)$