定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{(x+1)\sqrt{x}} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{(x+1)\sqrt{x}} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$t = \sqrt{x}$ とおくと、$x = t^2$ であり、$dx = 2t dt$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x=1$ のとき $t=\sqrt{1}=1$

$x=4$ のとき $t=\sqrt{4}=2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} \frac{1}{(x+1)\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{(t^2+1)t} 2t dt = 2\int_{1}^{2} \frac{1}{t^2+1} dt$

$\int \frac{1}{t^2+1} dt = \arctan(t) + C$ であるから、

$2\int_{1}^{2} \frac{1}{t^2+1} dt = 2 [\arctan(t)]_{1}^{2} = 2 (\arctan(2) - \arctan(1))$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ なので、

$2 (\arctan(2) - \frac{\pi}{4}) = 2\arctan(2) - \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$2\arctan(2) - \frac{\pi}{2}$