関数 $y = a\sin x + b\cos x$ は $x = \frac{\pi}{6}$ で最大値をとり、最小値は $-5$ である。定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = a\sin x + b\cos x$ は $x = \frac{\pi}{6}$ で最大値をとり、最小値は $-5$ である。定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = a\sin x + b\cos x$ を合成します。

$y = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha)$

ただし、$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。

最大値は $\sqrt{a^2 + b^2}$ で、最小値は $-\sqrt{a^2 + b^2}$。

問題文より、最小値は $-5$ なので、

$-\sqrt{a^2 + b^2} = -5$

$\sqrt{a^2 + b^2} = 5$

$a^2 + b^2 = 25$

また、$x = \frac{\pi}{6}$ で最大値をとるので、$x + \alpha = \frac{\pi}{2}$。

$\frac{\pi}{6} + \alpha = \frac{\pi}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

$\cos \alpha = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a}{5}$

$a = \frac{5}{2}$

$\sin \alpha = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b}{5}$

$b = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

確認のために、$a^2 + b^2 = 25$ を計算する。

$a^2 = \frac{25}{4}$

$b^2 = \frac{25 \cdot 3}{4} = \frac{75}{4}$

$a^2 + b^2 = \frac{25}{4} + \frac{75}{4} = \frac{100}{4} = 25$

3. 最終的な答え

$a = \frac{5}{2}$

$b = \frac{5\sqrt{3}}{2}$