時刻 $t=0$ で点 $(0, 1)$ を出発する $xy$ 平面上の動点 $P$ の時刻 $t$ における座標を $(x, y) = (f(t), g(t))$ とする。$P$ の速度ベクトル $(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})$ は大きさが $t$ で、向きはベクトル $(-\sin t, \cos t)$ と同じである。 (1) $f(t), g(t)$ を $t$ の式で表せ。 (2) 原点と $P$ との距離が $2$ となるときの $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

時刻 $t=0$ で点 $(0, 1)$ を出発する $xy$ 平面上の動点 $P$ の時刻 $t$ における座標を $(x, y) = (f(t), g(t))$ とする。$P$ の速度ベクトル $(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt})$ は大きさが $t$ で、向きはベクトル $(-\sin t, \cos t)$ と同じである。

(1) $f(t), g(t)$ を $t$ の式で表せ。

(2) 原点と $P$ との距離が $2$ となるときの $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 速度ベクトルは、大きさが $t$ で向きが $(-\sin t, \cos t)$ であるから、単位ベクトルを用いて

$(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}) = t \cdot (-\sin t, \cos t) = (-t \sin t, t \cos t)$ と表せる。

したがって、

$\frac{dx}{dt} = -t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = t \cos t$

これをそれぞれ積分することで、$x = f(t)$ と $y = g(t)$ を求める。

まず、$x = f(t) = \int -t \sin t \, dt$ について、部分積分を行う。

$u = t$, $dv = -\sin t \, dt$ とすると、$du = dt$, $v = \cos t$ なので、

$\int -t \sin t \, dt = t \cos t - \int \cos t \, dt = t \cos t - \sin t + C_1$

$f(0) = 0$ より $0 \cdot \cos 0 - \sin 0 + C_1 = 0$ なので $C_1 = 0$。

よって、$f(t) = t \cos t - \sin t$

次に、$y = g(t) = \int t \cos t \, dt$ について、部分積分を行う。

$u = t$, $dv = \cos t \, dt$ とすると、$du = dt$, $v = \sin t$ なので、

$\int t \cos t \, dt = t \sin t - \int \sin t \, dt = t \sin t + \cos t + C_2$

$g(0) = 1$ より $0 \cdot \sin 0 + \cos 0 + C_2 = 1$ なので $1 + C_2 = 1$。よって $C_2 = 0$。

よって、$g(t) = t \sin t + \cos t$

(2) 原点と $P$ との距離が $2$ となるのは、$\sqrt{f(t)^2 + g(t)^2} = 2$ となるときである。

$\sqrt{(t \cos t - \sin t)^2 + (t \sin t + \cos t)^2} = 2$

$(t \cos t - \sin t)^2 + (t \sin t + \cos t)^2 = 4$

$t^2 \cos^2 t - 2t \sin t \cos t + \sin^2 t + t^2 \sin^2 t + 2t \sin t \cos t + \cos^2 t = 4$

$t^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) + (\sin^2 t + \cos^2 t) = 4$

$t^2 + 1 = 4$

$t^2 = 3$

$t = \pm \sqrt{3}$

$t > 0$ であるから $t = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f(t) = t \cos t - \sin t$

$g(t) = t \sin t + \cos t$

(2) $t = \sqrt{3}$