(1) $xy$平面において、直線 $y=kx$ が、曲線 $y=x^2-4x$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ を2等分するとき、$S$と$k$の値を求める。 (2) 放物線 $y=ax^2+bx+c$ ($a>0$) の頂点の座標が $(1, -9)$ であり、この放物線と $x$ 軸で囲まれる図形の面積が $9\sqrt{2}$ であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $xy$平面において、直線 $y=kx$ が、曲線 $y=x^2-4x$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ を2等分するとき、$S$と$k$の値を求める。

(2) 放物線 $y=ax^2+bx+c$ ($a>0$) の頂点の座標が $(1, -9)$ であり、この放物線と $x$ 軸で囲まれる図形の面積が $9\sqrt{2}$ であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y=x^2-4x$ と $x$ 軸との交点を求める。$x^2-4x = x(x-4) = 0$ より、$x=0, 4$ である。

したがって、$x$ 軸と曲線 $y=x^2-4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ は、

$$S = -\int_0^4 (x^2-4x) dx = -\left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2\right]_0^4 = -\left(\frac{64}{3} - 32\right) = -\frac{64-96}{3} = \frac{32}{3}$$

直線 $y=kx$ が面積 $S$ を2等分するので、

$$\int_0^{\alpha} (kx - (x^2-4x)) dx = \frac{S}{2} = \frac{16}{3}$$

となるような $\alpha$ を求める。ただし、$\alpha$ は $kx = x^2-4x$ の解。

$x^2 - (4+k)x = 0$ より、$x = 0, 4+k$ であるから、$\alpha = 4+k$。

$$\int_0^{4+k} ((k+4)x - x^2) dx = \left[\frac{k+4}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_0^{4+k} = \frac{k+4}{2}(4+k)^2 - \frac{1}{3}(4+k)^3 = \frac{1}{6}(4+k)^3 = \frac{16}{3}$$

$$(4+k)^3 = 32 = 2^5$$

$$4+k = \sqrt[3]{32} = 2\sqrt[3]{4}$$

$$k = 2\sqrt[3]{4} - 4$$

(2)

頂点の座標が $(1, -9)$ であるから、放物線は $y=a(x-1)^2 - 9$ と表せる。

$y = ax^2 - 2ax + a - 9$ となるから、$y = ax^2+bx+c$ と比較して、$b = -2a, c = a-9$ である。

$y=a(x-1)^2 - 9 = 0$ となる $x$ は、$a(x-1)^2 = 9$ より、$(x-1)^2 = \frac{9}{a}$、よって、$x-1 = \pm\frac{3}{\sqrt{a}}$、したがって、$x = 1 \pm \frac{3}{\sqrt{a}}$。

この放物線と $x$ 軸で囲まれる面積は、

$$S = -\int_{1-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{1+\frac{3}{\sqrt{a}}} (a(x-1)^2 - 9) dx = -a \int_{1-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{1+\frac{3}{\sqrt{a}}} (x-1)^2 dx + 9 \int_{1-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{1+\frac{3}{\sqrt{a}}} dx$$

$t = x-1$ と置くと、$dx = dt$ であり、積分範囲は $-\frac{3}{\sqrt{a}}$ から $\frac{3}{\sqrt{a}}$ となる。

$$S = -a\int_{-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{\frac{3}{\sqrt{a}}} t^2 dt + 9 \int_{-\frac{3}{\sqrt{a}}}^{\frac{3}{\sqrt{a}}} dt = -2a \int_0^{\frac{3}{\sqrt{a}}} t^2 dt + 18 \int_0^{\frac{3}{\sqrt{a}}} dt = -2a \left[\frac{1}{3}t^3\right]_0^{\frac{3}{\sqrt{a}}} + 18\left[t\right]_0^{\frac{3}{\sqrt{a}}} = -2a \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{a\sqrt{a}} + 18 \cdot \frac{3}{\sqrt{a}} = -\frac{18}{\sqrt{a}} + \frac{54}{\sqrt{a}} = \frac{36}{\sqrt{a}}$$

$S = 9\sqrt{2}$ より、

$$\frac{36}{\sqrt{a}} = 9\sqrt{2}$$

$$\sqrt{a} = \frac{36}{9\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$

$$a = (2\sqrt{2})^2 = 8$$

$b = -2a = -16, c = a-9 = 8-9 = -1$

したがって、$a=8, b=-16, c=-1$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{32}{3}$, $k = -4$

(2) $a=8, b=-16, c=-1$