定積分 $\int_{0}^{1} x(1+x^2)^3 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} x(1+x^2)^3 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 1 + x^2$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ となり、$dx = \frac{du}{2x}$ です。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 0$ のとき、$u = 1 + 0^2 = 1$ です。

$x = 1$ のとき、$u = 1 + 1^2 = 2$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{2} x u^3 \frac{du}{2x} = \int_{1}^{2} \frac{1}{2} u^3 du$

$\frac{1}{2}$ を積分の外に出します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^3 du$

$u^3$ を積分します。

$\int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\frac{1}{2} [\frac{u^4}{4}]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4}) = \frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} (\frac{15}{4}) = \frac{15}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{8}$