与えられた定積分 $\int_1^2 \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_1^2 \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を使って積分を計算します。

部分積分の公式は

$\int u dv = uv - \int v du$

です。

ここでは、

$u = \log x$

$dv = \frac{1}{\sqrt{x}} dx = x^{-\frac{1}{2}} dx$

とします。

すると、

$du = \frac{1}{x} dx$

$v = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$

となります。

したがって、

$\int_1^2 \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx = [2\sqrt{x} \log x]_1^2 - \int_1^2 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= [2\sqrt{x} \log x]_1^2 - 2\int_1^2 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

$= [2\sqrt{x} \log x]_1^2 - 2[2\sqrt{x}]_1^2$

$= [2\sqrt{x} \log x - 4\sqrt{x}]_1^2$

$= (2\sqrt{2} \log 2 - 4\sqrt{2}) - (2\sqrt{1} \log 1 - 4\sqrt{1})$

$= 2\sqrt{2} \log 2 - 4\sqrt{2} - (0 - 4)$

$= 2\sqrt{2} \log 2 - 4\sqrt{2} + 4$

$= 2\sqrt{2} \log 2 - 4\sqrt{2} + 4$

3. 最終的な答え

$4 - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\log 2$