与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は、 $S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は、

$S = 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n}$

で表されます。

2. 解き方の手順

数列の一般項を求め、それを用いて和を計算します。

まず、分母の和 $1+2+3+\dots+k$ は、初項1、末項k、項数kの等差数列の和なので、

$1+2+3+\dots+k = \frac{k(k+1)}{2}$

と表されます。したがって、数列の第 $k$ 項は

$\frac{1}{1+2+3+\dots+k} = \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = \frac{2}{k(k+1)}$

となります。

この式を部分分数分解します。

$\frac{2}{k(k+1)} = 2\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

したがって、数列の和 $S$ は

$S = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{2}{k(k+1)}$

と書けます。

ここで、$k$ の範囲が 2 から $n$ であることに注意します。なぜなら、数列の最初の項は 1 であり、それに対応する $k$ の値は1ではないからです。

$S = 1 + 2 \sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

この和は、望遠鏡和（telescoping sum）です。

$S = 1 + 2\left[ \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \right]$

$S = 1 + 2\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} \right)$

$S = 1 + 1 - \frac{2}{n+1}$

$S = 2 - \frac{2}{n+1}$

$S = \frac{2(n+1) - 2}{n+1}$

$S = \frac{2n + 2 - 2}{n+1}$

$S = \frac{2n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n}{n+1}$