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$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の三角不等式を解く問題です。 (1) $\sin \theta > \frac{1}{2}$ (2) $\cos \theta \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan \theta < -\sqrt{3}$ (4) $\sqrt{2} \sin \theta \le -1$ (5) $2 \cos \theta + \sqrt{2} > 0$ (6) $\tan \theta + 1 \ge 0$

解析学三角関数三角不等式不等式三角関数の解法
2025/6/21

1. 問題の内容

0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で、以下の三角不等式を解く問題です。
(1) sin⁡θ>12\sin \theta > \frac{1}{2}
(2) cos⁡θ≤32\cos \theta \le \frac{\sqrt{3}}{2}
(3) tan⁡θ<−3\tan \theta < -\sqrt{3}
(4) 2sin⁡θ≤−1\sqrt{2} \sin \theta \le -1
(5) 2cos⁡θ+2>02 \cos \theta + \sqrt{2} > 0
(6) tan⁡θ+1≥0\tan \theta + 1 \ge 0

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ>12\sin \theta > \frac{1}{2}
sin⁡θ=12\sin \theta = \frac{1}{2} となる θ\theta は θ=π6,5π6\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} です。sin⁡θ\sin \theta は 0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi の範囲で π6<θ<5π6\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6} で 12\frac{1}{2} より大きくなります。
(2) cos⁡θ≤32\cos \theta \le \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡θ=32\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} となる θ\theta は θ=π6,11π6\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} です。cos⁡θ\cos \theta は 0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi の範囲で 0≤θ≤π60 \le \theta \le \frac{\pi}{6} または 11π6≤θ<2π\frac{11\pi}{6} \le \theta < 2\pi で 32\frac{\sqrt{3}}{2} 以下になります。
(3) tan⁡θ<−3\tan \theta < -\sqrt{3}
tan⁡θ=−3\tan \theta = -\sqrt{3} となる θ\theta は θ=2π3,5π3\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} です。tan⁡θ\tan \theta の周期は π\pi なので、2π3<θ<3π2\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2} または 5π3<θ<2π3+π=5π3\frac{5\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3} のように 3π2<θ<5π3\frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{5\pi}{3} と tan⁡θ\tan \theta が定義できない範囲を除外する必要があります。したがって2π3<θ<π2\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2} は定義できないので 2π3<θ<3π2\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2} および 5π3<θ<2π\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi が解となります。
(4) 2sin⁡θ≤−1\sqrt{2} \sin \theta \le -1
sin⁡θ≤−12=−22\sin \theta \le -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
sin⁡θ=−22\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} となる θ\theta は θ=5π4,7π4\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} です。sin⁡θ\sin \theta は 0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi の範囲で 5π4≤θ≤7π4\frac{5\pi}{4} \le \theta \le \frac{7\pi}{4} で −22-\frac{\sqrt{2}}{2} 以下になります。
(5) 2cos⁡θ+2>02 \cos \theta + \sqrt{2} > 0
cos⁡θ>−22\cos \theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡θ=−22\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} となる θ\theta は θ=3π4,5π4\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} です。cos⁡θ\cos \theta は 0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi の範囲で 0≤θ<3π40 \le \theta < \frac{3\pi}{4} または 5π4<θ<2π\frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi で −22-\frac{\sqrt{2}}{2} より大きくなります。
(6) tan⁡θ+1≥0\tan \theta + 1 \ge 0
tan⁡θ≥−1\tan \theta \ge -1
tan⁡θ=−1\tan \theta = -1 となる θ\theta は θ=3π4,7π4\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} です。tan⁡θ\tan \theta の周期は π\pi なので、0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2} または 3π4≤θ<3π2\frac{3\pi}{4} \le \theta < \frac{3\pi}{2} または 7π4≤θ<2π\frac{7\pi}{4} \le \theta < 2\pi が解となります。

3. 最終的な答え

(1) π6<θ<5π6\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}
(2) 0≤θ≤π6,11π6≤θ<2π0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \le \theta < 2\pi
(3) 2π3<θ<3π2,5π3<θ<2π\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi
(4) 5π4≤θ≤7π4\frac{5\pi}{4} \le \theta \le \frac{7\pi}{4}
(5) 0≤θ<3π4,5π4<θ<2π0 \le \theta < \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi
(6) 0≤θ<π2,3π4≤θ<3π2,7π4≤θ<2π0 \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4} \le \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4} \le \theta < 2\pi

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