$\int \sqrt{x} \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \sqrt{x} \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}$ を $x$ のべき乗の形で書き換えます。

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

したがって、積分は

$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx$

となります。

次に、べき乗の積分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。

ここで、$n = \frac{1}{2}$ なので、

$n + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

したがって、

$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$

整理すると、

$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

$x^{\frac{3}{2}} = x \sqrt{x}$ なので、

$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$