次の2つの関数の不定積分を求める問題です。 (1) $x(3x^2+2)^6$ (2) $\cos^{-1}x$

1. 問題の内容

次の2つの関数の不定積分を求める問題です。

(1) $x(3x^2+2)^6$

(2) $\cos^{-1}x$

2. 解き方の手順

(1) $x(3x^2+2)^6$ の不定積分を求める。

置換積分を用いる。$u = 3x^2 + 2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 6x$ より $dx = \frac{du}{6x}$ となる。

したがって、

$\int x(3x^2+2)^6 dx = \int x u^6 \frac{du}{6x} = \int \frac{1}{6} u^6 du = \frac{1}{6} \int u^6 du$

$= \frac{1}{6} \cdot \frac{u^7}{7} + C = \frac{u^7}{42} + C$

ここで、$u$ を $3x^2+2$ に戻すと、

$\int x(3x^2+2)^6 dx = \frac{(3x^2+2)^7}{42} + C$

(2) $\cos^{-1}x$ の不定積分を求める。

部分積分を用いる。$\int u dv = uv - \int v du$

$u = \cos^{-1}x$ と $dv = dx$ とすると、 $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ および $v = x$ となる。

したがって、

$\int \cos^{-1}x dx = x\cos^{-1}x - \int x (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) dx = x\cos^{-1}x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算する。置換積分を用いる。$w = 1-x^2$ とすると、$\frac{dw}{dx} = -2x$ より $dx = \frac{dw}{-2x}$ となる。

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{w}} \frac{dw}{-2x} = -\frac{1}{2} \int w^{-\frac{1}{2}} dw = -\frac{1}{2} \frac{w^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -w^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

したがって、

$\int \cos^{-1}x dx = x\cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x(3x^2+2)^6 dx = \frac{(3x^2+2)^7}{42} + C$

(2) $\int \cos^{-1}x dx = x\cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2} + C$